微分 20 道、积分 20 道，再加 10 道 ★★★★★ 压轴题，按难度排，每题都有提示与完整解法。所有答案都用符号计算与数值积分双重核对过，可以放心拿来当自测。
D1★★★★基本
ddx (x³ + 2x)
EN · d/dx (x³ + 2x)
D2★★★★乘积
ddx [(3x²−5x+1)(x²+2)]
EN · d/dx [(3x²−5x+1)(x²+2)]
D3★★★★商
ddx 2x+1x²+3
EN · d/dx (2x+1)/(x²+3)
D4★★★★链式
ddx √(4x+1)
EN · d/dx √(4x+1)
D5★★★★链式 · 三角
ddx sin²(3x)
EN · d/dx sin²(3x)
D6★★★★链式 · 指数
ddx e−x²
EN · d/dx e^(−x²)
D7★★★★链式 · 对数
ddx ln(ln x)
EN · d/dx ln(ln x)
D8★★★★隐函数
x² + y² = 25，求 dy/dx
EN · Given x² + y² = 25, find dy/dx.
D9★★★★隐函数
x³ + y³ = 3xy，求 dy/dx
EN · Given x³ + y³ = 3xy, find dy/dx.
D10★★★★参数
x = t²，y = t³，求 dy/dx
EN · Given x = t², y = t³, find dy/dx.
D11★★★★幂指
ddx xx
EN · d/dx x^x
D12★★★★幂指
ddx xsin x
EN · d/dx x^(sin x)
D13★★★★反三角
ddx arctan x
EN · d/dx arctan x
D14★★★★反三角 · 链式
ddx arcsin(2x)
EN · d/dx arcsin(2x)
D15★★★★应用
求 y = x³ − 3x² + 1 的驻点并判断极大极小
EN · Find the stationary points of y = x³ − 3x² + 1 and determine which are maxima and which are minima
D16★★★★应用
曲线 y = x² 上哪一点的切线斜率为 4？写出该切线方程
EN · At which point of the curve y = x² is the slope of the tangent equal to 4? Write down the equation of that tangent
D17★★★★高阶导数
求 y = x⁴ − 2x² 的拐点
EN · Find the inflection points of y = x⁴ − 2x²
D18★★★★近似
用微分估算 √101
EN · Use differentials to estimate √101
D19★★★★链式
y = (2x + 1)⁵，求 x = 0 处的导数值
EN · y = (2x + 1)⁵; find the value of the derivative at x = 0
D20★★★★技巧
ddx ln(x + √(x²+1))
EN · d/dx ln(x + √(x²+1))
I1★★★★基本
∫ (x² + 1x) dx
EN · Evaluate the integral of (x^2 + 1/x) dx.
I2★★★★换元
∫ (3x + 1)⁵ dx
EN · Evaluate the integral of (3x + 1)^5 dx.
I3★★★★换元
∫ x ex² dx
EN · Evaluate the integral of x e^(x^2) dx.
I4★★★★分部
∫ ln x dx
EN · Evaluate the integral of ln x dx.
I5★★★★分部
∫ x ex dx
EN · Evaluate the integral of x e^x dx.
I6★★★★分部
∫ x² ex dx
EN · Evaluate the integral of x^2 e^x dx.
I7★★★★三角
∫ sin²x dx
EN · Evaluate the integral of sin^2 x dx.
I8★★★★三角 · 换元
∫ cos³x dx
EN · Evaluate the integral of cos^3 x dx.
I9★★★★有理函数
∫ 1x² + 4 dx
EN · Evaluate the integral of 1/(x^2 + 4) dx.
I10★★★★有理函数
∫ 1x² − 1 dx
EN · Evaluate the integral of 1/(x^2 − 1) dx.
I11★★★★有理函数
∫ 1x² + 3x + 2 dx
EN · Integral of 1/(x^2 + 3x + 2) dx
I12★★★★三角
∫ tan x dx
EN · Integral of tan x dx
I13★★★★换元 · 技巧
∫ 11 + √x dx
EN · Integral of 1/(1 + √x) dx
I14★★★★反常
∫0∞ e−2x dx
EN · integral from 0 to ∞ of e^(−2x) dx
I15★★★★定积分
∫0π sin x dx
EN · integral from 0 to π of sin x dx
I16★★★★定积分 · 技巧
∫01 x²(1 − x)³ dx
EN · integral from 0 to 1 of x^2(1 − x)^3 dx
I17★★★★三角 · 换元
∫ sin³x cos²x dx
EN · Integral of sin^3 x cos^2 x dx
I18★★★★换元
∫ x1 + x² dx
EN · Integral of x/(1 + x^2) dx
I19★★★★分部 · 技巧
∫ ex sin x dx
EN · Integral of e^x sin x dx
I20★★★★技巧
∫ √(1 − x²) dx
EN · Integral of √(1 − x^2) dx
X1★★★★★级数
∫0∞ x3ex − 1 dx
EN · Evaluate ∫₀^∞ x³/(eˣ − 1) dx.
X2★★★★★级数
∫01 ln x · ln(1 − x) dx
EN · Evaluate ∫₀¹ ln x · ln(1 − x) dx.
X3★★★★★参数积分
∫0∞ e−ax − e−bxx dx = ln ba (a, b > 0)
EN · Show that ∫₀^∞ (e^(−ax) − e^(−bx))/x dx = ln(b/a) for a, b > 0.
X4★★★★★优化
半径 R 的球内接圆锥，求最大体积与对应的锥高
EN · A cone is inscribed in a sphere of radius R. Maximise its volume; find the optimal height.
X5★★★★★积分技巧
∫0π x sin x1 + cos2x dx
EN · Evaluate ∫₀^π x sin x/(1 + cos²x) dx.
X6★★★★★级数
Σn≥1 1n2(n+1)2 = ?
EN · Evaluate the sum Σ 1/(n²(n+1)²).
X7★★★★★极限
limx→0 (1x2 − 1sin2x)
EN · Evaluate lim (1/x² − 1/sin²x) as x → 0.
X8★★★★★积分技巧
∫0π/2 ln(sin x) dx
EN · Evaluate ∫₀^(π/2) ln(sin x) dx.
X9★★★★★积分技巧
∫0∞ 11 + x4 dx
EN · Evaluate ∫₀^∞ dx/(1 + x⁴).
X10★★★★★综合
y = x1/x 的最大值？方程 x1/x = a 有几个解？
EN · Maximise y = x^(1/x) for x > 0, and count the solutions of x^(1/x) = a.