函数与图像

45 道真实出现过的图像题，另加 10 道进阶题（共 55 道）。每题配本站计算绘制的函数图像（非原题配图），关键特征由程序从表达式数值提取。面试官在意的是方法——先过一遍检查清单，再落笔。

画图工具箱

面试现场给你一条式子或一个情境，你要在九十秒内画出形状并解释。这份工具箱按「先问什么、用什么招、别踩什么坑」排列。

• 01定义域　分母为零、根号内为负、ln 内 ≤ 0 —— 这些点就是断点和渐近线。
• 02对称性　偶函数左右镜像、奇函数绕原点转 180°、周期、x↔y 互换。这一条能省掉一半工作量。
• 03特殊点　零点（与 x 轴交点）、f(0)、极值、拐点。零点的重数决定穿过还是相切。
• 04端点与边界　x→±∞、逼近断点两侧、定义域端点。图的「长相」主要由这里决定。
• 05单调与凹凸　能求导就求导，不能就用上面四条加测试点。

• 01f′ 符号表　单调区间、极值位置；f″ 定凹凸与拐点。
• 02直接求导　有理函数、arctan、eˣ/x 这类，求导比逐点描图快得多。
• 03但别默认能求导　题面只给 f(x) 符号时，必须走形状与变换，不能自己编一个 f。

下面每条曲线都由本站按表达式计算绘制。把这些形状记成肌肉记忆，考场上只是往里套变换。

基准曲线 f(x) = x·e^(−x²)，它同时有奇对称、两个极值和两个零点，用来对照最清楚。

• 01两端行为都写了吗？
• 02断点两侧的符号和方向都标了吗？
• 03零点是穿还是切，确定了吗？
• 04有界吗？会不会跑到无穷？
• 05分支都画了吗（√ 的上下支、绝对值、隐式的两支）？
• 06取了 3 个测试点（如 0、1、−1、10）验证吗？