变化率 = 驱动 − 阻力；解永远是「稳态 + 瞬态」。
真实系统里「变化率」几乎总由当前状态决定——压差、温差、阻力都随状态变化，所以自然写出 dy/dt = a − by 这类方程。解里 a/b 是最终稳定值，e 的负指数项就是「还在往那儿走」的那部分。
小例落体 m=1、k=1 → 终端速度 10 m/s，τ=1 s；t=1 s 时 v≈6.3 m/s
面试怎么考写出方程 → 分离变量 → 用 t=0 与 t→∞ 两端检验。
常见坑终端速度是极限不是解；非线性没有统一时间常数；常数由初始条件定。
小量的一次方就是全部：非线性项可以扔掉。
所有近似都是把曲线在某一点换成直线：位移足够小，二阶以上的项就可以丢。这也是为什么小角摆、小位移弹簧都会变成简谐运动。
小例√101 ≈ 10 + 1/20 = 10.05，误差约 1.2×10⁻⁴
面试怎么考先取基准点，再算相对误差 Δx/x，并说明丢掉了哪一阶。
常见坑ε 必须真的小；量级估算不要写成精确值；注意单位一致。
洛必达是确认工具，不是发现工具。
极限问的是「谁快谁慢」。洛必达本质上是把 0/0 换成导数的比值，但求导可能把问题绕回同一形式，所以先用泰勒看首项阶数更可靠。
小例(eˣ−1−x)/x²：首项是 x²/2，极限 1/2
面试怎么考先用泰勒判断阶数，再用洛必达复核。
常见坑循环论证（用洛必达证 sin x/x）；非未定式硬用；每步复核条件。
换元看结构，分部看乘积，部分分式看分母。
积分是「把无数小量加起来」。换元是换坐标，分部是把乘积求导公式反着用，部分分式是把复杂分母拆成几个已知的基本块。
小例∫x eˣ dx = (x−1)eˣ，求导回验得 x eˣ ✓
面试怎么考两类不同函数相乘用分部，复合结构用换元，有理函数一律部分分式。
常见坑忘记 +C；定积分不换限；对称区间先看奇偶性。
所有矢量题，第一步都是把力拆到两个互相垂直的方向。
力是矢量，但牛顿方程只在同一方向上成立。选一组互相垂直的轴（沿斜面、沿绳），二维问题就拆成两个独立的一维问题。
小例30° 斜面：重力沿面分量 mg sin30° = ½mg
面试怎么考先画受力图，选一组方便的正交轴（沿斜面或沿绳），再分解。
常见坑角度基准别混（水平还是竖直）；分量方向符号要一开始定好。
把二维运动拆成两个一维：水平匀速，竖直匀加速。
重力只作用在竖直方向，水平方向完全自由，所以两个方向可以分开算，再用时间 t 把它们接起来。空气阻力一进来，两个方向就耦合了。
小例u=20 m/s、45° → 射程 R = u²/g ≈ 40 m
面试怎么考先写两个方向各自的方程，再消去 t——这是唯一需要背的步骤。
常见坑忽略空气阻力；角度用弧度还是度；逆风/顺风要改 v。
没有外力时，动量守恒；能量只在弹性碰撞时守恒。
碰撞时间极短，外力的冲量可以忽略，于是动量守恒。动能是否守恒取决于形变能否恢复：只有 e = 1 才有动能守恒。
小例两个等质量球弹性碰撞 → 交换速度
面试怎么考先判断外力的冲量能否忽略，能忽略就写动量守恒，再看动能是否守恒。
常见坑动量是矢量要带符号；完全非弹性时动能损失最多；变质量问题要分清 dm/dt。
向心力不是新力，是各力的径向合力。
速度方向一直在变，所以一定存在指向圆心的加速度。向心力不是新力，是重力、张力、支持力在径向的合力——先找圆心，再写径向合力。
小例圆锥摆 l=1 m、θ=30° → T = 2π√(l cosθ/g) ≈ 1.87 s
面试怎么考先找圆心与半径，再写「径向合力 = mv²/r」。
常见坑别把离心力当真实力；半径不是绳长而是到圆心距离；速度变化时向心力也变。
平动的每个量，在转动里都有一个对应量。
转动惯量是「质量在转动里的版本」，它取决于质量离轴有多远。所以同样重的物体，质量越往外分布就越难转起来。
小例细杆绕一端 I = ⅓mL²，绕中心 mL²/12
面试怎么考先写 I（查标准形状或积分），再写 τ = Iα 或 L 守恒。
常见坑I 依赖转轴；角速度方向沿轴；角动量守恒≠能量守恒。
转动惯量是「转动版的质量」：同样的力矩，I 越大越难转起来。
平动时质量越大力越难改变；转动时起这个作用的是 I = Σmᵢrᵢ²——离轴越远的质量贡献越大，所以同一个物体绕不同的轴，I 完全不同。刚体转动定律 τ = Iα 与 F = ma 一一对应，转动动能 ½Iω² 对应 ½mv²。
小例细杆绕端点：I_c = mL²/12，平移 d = L/2 得 I = mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3。
面试怎么考先问「绕哪根轴转」，再决定用哪个 I；组合体先分别算再相加，别把 I 当成物体常数。
常见坑I 依赖轴而非只依赖形状；实心球 ⅖ 与球壳 ⅔ 别记反；平行轴定理只能从质心轴平移，不能在两任意轴之间用。
只要回复力正比于位移，就是 SHM。
把回复力在平衡点附近做一阶泰勒展开，任何「想回到平衡」的系统在小振幅下都近似成 F ∝ −x，于是都是简谐运动。
小例浮体 T = 2π√(V/(gA))，吃水越深越慢
面试怎么考先证 F ∝ −x，再读 ω；不确定就做小位移泰勒展开。
常见坑小角近似；阻尼是削峰不是消除；共振频率略低于自然频率。
同一流管里，速度大的地方压强小。
把能量守恒用在流体质点上：压强做的功、动能、势能三者之和沿一条流线不变。所以流速高处压强低——这与「窄处被挤、压强变大」的直觉相反。
小例托里拆利：h=1.25 m → v = √(2gh) ≈ 5 m/s
面试怎么考先写两点的伯努利，截面变化用连续性，最后代入。
常见坑截面小 → 压强小（反直觉）；伯努利只在同一流线上成立；可压缩时不能用。
浮力等于排开流体的重量；表面张力让压强依赖曲率。
静止的流体只能提供压力，且压强随深度线性增长 p = p₀ + ρgh。物体受到的合力就是上下表面压强之差乘以面积，化简后恰好等于「排开那部分流体的重量」——所以浮力与物体自身的材料无关，只取决于它占了多少体积。界面处分子受到的拉力不平衡，使表面像一张绷紧的膜；曲率越大，膜内外的压差越大。
小例冰山：ρ_ice/ρ_water ≈ 0.917 ⇒ 在淡水中露出约 8%；在海水中（ρ ≈ 1025）露出约 10%——就是「冰山一角」的定量版本。
面试怎么考先判断漂浮还是沉底，再决定按「重量」还是「体积」算；曲面题先数有几个界面。
常见坑冰山露出约 10%；含钢球的冰融化后水位下降；气泡越小内压越大——小气泡会互相吞并。
梁的题永远先求支反力，再画 M(x)。
梁内每一截面都在「抵抗弯曲」，弯矩就是截面上那对力偶的大小。它由外力和支座反力共同决定，所以集中力处剪力跳变、弯矩连续。
小例悬臂端部受力 W、长 L → 根部 M = WL
面试怎么考受力图 → ΣF=0、ΣM=0 → 剪力跳变 → 弯矩积分。
常见坑集中力处剪力跳变、弯矩连续；铰接弯矩为零；符号约定先说清。
强度看截面，刚度还要看长度。
应力是单位面积上的力，应变是相对伸长。两者在弹性区成正比（比例就是杨氏模量 E），过了屈服点材料开始永久变形，再往后就断裂。
小例直径加倍 → 断载 ×4、刚度 ×2（若长度也加倍）
面试怎么考先问是「会不会断」还是「变形多少」，两者用不同公式。
常见坑强度≠刚度；长度不影响断载；细长杆先屈曲。
场是力的观点，电势是能量的观点。
场是「单位电荷受的力」，电势是「单位电荷具有的能量」。两者是同一件事的两种描述——求力用场，求能量用电势，哪个方便用哪个。
小例两等量同号电荷中点：场强为零，电势不为零
面试怎么考先问「要力还是要能量」：要力用 E，要能量用 V；球对称结构直接上高斯定理；遇到导体就问「内部有没有场、表面是不是等势」。
常见坑E 与 V 不是同一个量（E 是场强、V 是电势）；电势是标量但有正负；一维下 E = −dV/dx，不能写成 E = V。
电路只有两条定律：节点电荷守恒、回路电压守恒。
电荷不会凭空堆积（KCL），能量不会凭空消失（KVL）。这两条加上每个元件的伏安关系，就足以解任何线性电路。
小例电桥平衡：R₁R₄ = R₂R₃
面试怎么考先找对称/等势点化简，含受控源就老实列方程。
常见坑开路电压与内阻；叠加定理只对线性；参考点选得好能少写一半。
开关瞬间：电容电压连续、电感电流连续。
电容的电压、电感的电流都不能突变，所以开关瞬间它们保持原值；之后按指数走向稳态，快慢由时间常数 τ 决定。
小例R=1 kΩ、C=1 µF → τ=1 ms，5τ 后基本充满
面试怎么考先定初始值与终值，再写指数；τ 用一句话给出。
常见坑电容电压不能突变；能量 50% 损耗与 R 无关；ω=0 与 ω→∞ 两端检验。
变化的磁通量产生电动势；感应电流总在抵抗这个变化。
只有磁通量在变才有电动势，静止在恒定磁场里什么也不会发生。楞次定律的负号就是能量守恒：感应电流必须反抗这个变化。
小例B=0.1 T、l=1 m、v=1 m/s → ε = Blv = 0.1 V
面试怎么考先算 Φ 的变化率，再用楞次定方向，最后看能量去哪。
常见坑磁通量与磁感应强度别混；面积是投影面积；楞次定律不是「反抗运动」而是「反抗变化」。
能量守恒 + 熵增，卡住一切效率。
热机在两个温度之间工作，效率被卡诺极限夹住。任何声称超过它的机器，一定在某处违反了第一或第二定律——先算上限再判断。
小例600 K / 300 K → η_max = 1 − ½ = 50%
面试怎么考任何「神奇机器」题，先算卡诺极限再判断。
常见坑必须用开尔文；热机与热泵效率定义不同；可逆过程才是上限。
三种机制，先判断是哪一种占主导。
热量总是从高温流向低温，三种机制可以并联也可以串联。串联时热阻相加，和电阻串并联的算法完全一样。
小例玻璃 k≈1、厚 4 mm → 热阻 ≈ 0.004 m²K/W
面试怎么考先判断主导机制，再写对应公式；量级题直接用数量级。
常见坑温度必须用开尔文（辐射）；k 与 h 不要混；辐射与面积和 T⁴ 都成正比。
波的三件事：传播、叠加、边界。
波传播的是「扰动」而不是介质本身，所以同一频率下，波速由介质决定、波长随之改变（v = fλ）。一旦遇到边界，反射波与入射波叠加：固定端反射有半波损失，两个反向行波合成驻波，于是出现永远不动的波节和振幅最大的波腹。
小例1 m 长弦两端固定、基频 100 Hz → v = 2Lf = 200 m/s；把张力加倍，频率变 √2 倍 ≈ 141 Hz。
面试怎么考先画波节与波腹，数清有几个半波，再套公式；光学题先判断是否发生全反射。
常见坑弦的频率由张力与线密度决定，不由拨动力度；全反射只能从密到疏；相位差与光程差相差 2π/λ。
先量纲、后系数；先写链路，再代数字。
物理定律两边量纲必须相同，所以幂次可以被反推出来。这比背公式更可靠，也是任何估算的第一道自检。
小例风机 P ∝ ρr²v³：半径加倍 → 功率 ×4
面试怎么考先写出所有相关量的量纲式，解指数，再代入数量级。
常见坑常数因子可忽略但幂次不能错；2–3 位有效数字足够；必须说明假设。